Diagrama de Venn

Diagramas de Venn que corresponden respectivamente a las relaciones topológicas de unión, inclusión y disyunción entre 2 conjuntos

Los diagramas de Vennson esquemas utilizados en la, tema de interés en,y. Estos diagramas muestran compilaciones ( conjuntos) de cosas ( elementos) por medio de líneas cerradas. La línea cerrada exterior engloba a todos los elementos bajo consideración, el conjunto universal U.

Los diagramas de Venn fueron concebidos hacia mil ochocientos ochenta por.

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1) Introducción

Con los diagramas de Venn es posible representar las relaciones de intersección, inclusión y disyunción sin cambiar la posición relativa de los conjuntos

1.1) Intersección

Dado que los conjuntos pueden tener elementos comunes, las regiones encerradas por sus líneas límite se sobreponen. El conjunto de los elementos que pertenecen simultáneamente a otros dos es la intersecciónde ambos. ​

Intersección = 1, 3

Si todos los elementos de un conjunto son una parte de los elementos de otro, se dice que el primero es un subconjuntodel segundo o bien que está incluidoen el segundo. ​ En los diagramas de Venn, todas las regiones de superposición posibles han de ser representadas. Y, cuando hay zonas que no poseen elementos ( regiones vacías), la situación se señala anulándolas (con un color de fondo distinto). ​

Cuando los conjuntos no tienen elementos comunes, la región de superposición queda vacía.

A la izquierda de los diagramas, las definiciones de los conjuntos por enumeracióny por comprensión.

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2) Orígenes e historia

Vitral del comedor del Caius College (Cambridge) en homenaje a John Venn y su creación

Los diagramas de Venn tienen el nombre de su autor,, matemático y filósofo británico. ​ Estudiante y más tarde profesor del Caius College de la, Venn desarrolló toda su producción intelectual en ese ámbito. ​

Los diagramas que hoy conocemos fueron presentados en el mes de julio de 1880 en el trabajo titulado De la representación mecánica y diagramática de proposiciones y razonamientos, ​ que tuvo gran repercusión en el planeta de la lógica formal. Los diagramas de Venn tienen múltiples antecedentes. La primera representación gráfica de deducciones lógicas —y, en particular, de— se atribuye comúnmente a. Variaciones de exactamente la misma fueron empleadas luego pory, pero fue el enorme matemático suizoquien primero introdujo una notación clara y sencilla. ​ El siguiente diagrama muestra de otra forma la relación de inclusión del ejemplo dado en la introducción.

Los diagramas de Euler se distinguen de los de Venn en dos aspectos:

• en ellos no aparecen las zonas vacías y
• el conjunto universal no se representa.

Si bien fue Venn quien introdujo la expresión «», él jamás representó al universal en sus trabajos. ​ Por eso la idea de conjunto universal se atribuye frecuentemente a Converses Dodgson, más conocido como, el lógico y autor de cuentos para niños que. ​ El conjunto universal fue cuestionado por, quien mostró que con tal concepto la teoría de conjuntos resultaba inconsistente (véase). No obstante, dicha definición fue rescatada y aun justificada en unaque distingue al universal del(universo del discurso). ​ Por las 2 razones recién mencionadas, los diagramas de Venn llegaron a transformarse en el nuevo estándar para la formalización de operaciones lógicas y los sistemas de representación precedentes cayeron en desuso. ​

Tiempo después de la aparición del primer artículo, Venn desarrolló algo más su nuevo sistema en el libro Lógica simbólica, publicado en 1881 y cuyo propósito era interpretar y repasar los trabajos de Boole en el campo de la lógica formal. Este libro sirvió sobre todo para presentar ejemplos del uso de los diagramas. ​ Otro libro de Venn que ayudó a difundir el nuevo sistema de representación fue el titulado Los principios de la lógica empírica o bien inductiva, publicado en mil ochocientos ochenta y nueve. ​

La primera perseverancia escrita del uso de la expresión «diagrama de Venn» es muy tardía (mil novecientos dieciocho) y se encuentra en el libro A Survey of Symbolic Logicde. ​

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3) Diagramas de Venn de enunciados

Como se mostró en la introducción, los diagramas de Venn pueden ser definidos por comunicaciones de sus elementos o bien por indicación de una característica común que los identifica unívocamente. ​ De ahí que haya 2 géneros de diagramas de Venn: los que muestran elementos reunidos por líneas cerradas y los que sencillamente muestran enunciados o conceptos. Estos últimos son más interesantes pues dejan operar de manera abstracta y llegar a conclusiones más generales. ​

Los siguientes diagramas del segundo tipo muestran los resultados de cuatro operaciones básicas con conjuntos usando el código del semáforo de 2 colores. ​

Como se desprende de las igualdades, con las 2 primeras operaciones ( negacióny conjunción), es posible hacer las otras 2 ( disyuncióny sustracción).

El código de dos colores puede ser interpretado en el sistema binario de numeración: rojo = 0; verde = 1. A los resultados de las operaciones se los puede entonces digitalizar. Y a los términos que participan de las operaciones, también. De esta forma, las operaciones con conjuntos se convierten en operaciones con números. ​

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4) Diagramas de Venn y cantidad de definiciones

Los siguientes diagramas muestran la cantidad de zonas en que queda dividido el conjunto universal con una, dos y 3 definiciones.

Entre los colores se cuenta el gris, que en todos y cada uno de los casos corresponde a los elementos que no caen en ninguna definición.

4.1) Diagrama de un conjunto

Tiene sólo 2 regiones: la de los elementos que responden a la definición Ay la de los que se oponen a ella. ​

4.2) Diagrama de 2 conjuntos

Tiene 4 zonas. Considérese el próximo ejemplo: el conjunto Aes el de los animales bípedos y el conjunto Bes el de los animales que pueden volar. El área donde las 2 regiones se sobreponen contiene por lo tanto a todos y cada uno de los animales que, al tiempo, son bípedos y pueden volar. En resumen:

• A(regiones amarilla y verde): animales bípedos,
• B(zonas azul y verde): animales que pueden volar,
• Ay B(región verde): animales bípedos que pueden volar,
• Ay no B(región amarilla): animales bípedos que no pueden volar,
• no Ay B(región azul): animales no bípedos (que no tienen 2 patas) que pueden volar,
• no Ay no B(región gris): animales no bípedos que no pueden volar,
• Ao B(zonas amarilla, azul y verde): animales bípedos o que pueden volar.

Los pingüinos, que tienen 2 patas y no pueden volar, están en la región amarilla; los mosquitos, que tienen 6 patas y pueden volar, están en la región azul; los loros, que tienen dos patas y pueden volar, están en la región verde; las ballenas, que no tienen patas ni pueden volar, están en la región gris.

4.3) Diagrama de 3 conjuntos

Tienen ocho regiones. Los diagramas de tres conjuntos fueron los más usados por Venn en toda su obra. Un ejemplo de aplicación podría ser el siguiente: dado un conjunto de personas, Aes el conjunto de las de sexo masculino, Bel conjunto de las mayores de 18 años y Cel conjunto de las que trabajan. De esta manera, la región verde sería la de las personas de sexo masculino, mayores de 18 años, que no trabajan. ​

4.4) Diagramas de más de 3 conjuntos

La dificultad de representar más de 3 conjuntos a través de diagramas de Venn es evidente. Venn sentía afición por los diagramas de más de 3 conjuntos, a los que definía como "figuras simétricas, elegantes en sí mismas". A lo largo de su vida, diseñó varias representaciones usando elipses, y dejó indicaciones para la construcción de diagramas con cualquier cantidad de curvas, partiendo del diagrama de 3 círculos. ​

4.4.1) Diagramas de Edwards

Anthony William Fairbank Edwards propuso diagramas para más de tres conjuntos, proyectando el diagrama sobre una esfera. 3 conjuntos pueden ser representados fácilmente tomando tres hemisferios en ángulos rectos ( x= 0, y= 0 y z= 0). Un cuarto conjunto puede ser representado tomando una curva afín a la juntura de una pelota de tenis que suba y baje alrededor del ecuador. Los conjuntos resultantes pueden ser proyectados de nuevo sobre el plano para mostrar diagramas de tipo engranaje, con cantidades cada vez mayores de dientes. Edwards ideó estos diagramas mientras que diseñaba la ventana acristalada en memoria de Venn que el día de hoy adorna el comedor del Caius College. ​

4.4.2) Otros diagramas

Los diagramas de Edwards son topológicamente equivalentes a los diagramas diseñados por Branko Grünbaum, que se basan en la intersección de polígonos con cantidades crecientes de lados. ​ ​ ​ideó diagramas similares de nconjuntos usando curvas senoidales con ecuaciones del tipo y= sen(2 ⁱ x)/2 ⁱ , 0 ≤ i ≤ n– 2. Por su lado,diseñó un diagrama de 5 conjuntos.

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5) Otras representaciones

A continuación se hace referencia a representaciones relacionadas con los diagramas de Venn.

5.1) Líneas de Leibniz

Las líneas de Leibniz fueron las primeras representaciones de conceptos lógicos. Leibniz también representó los conceptos con círculos, mas prefería las líneas.

5.2) Círculos de Euler

Los círculos de Euler anteceden históricamente a los diagramas de Venn y en ciertas aplicaciones son todavía usados.

La diferencia entre los diagramas de Euler y de Venn se observa sobre todo en las relaciones de inclusión y de disyunción.

Los diagramas de Venn muestran la topología del sistema sin que sea preciso modificar la posición relativa de los conjuntos, a costa de introducir una nueva convención: el sombreado de las zonas vacías.

5.3) Mapas de Karnaugh

Los mapas de Karnaugh o diagramas de Veitch son una representación visual de expresiones del. ​

5.4) Gráficos de Peirce.

Los gráficos desonque incluyen información sobre aseveraciones existenciales, disyuntivas, de probabilidades y otras relaciones. ​

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6) Véase también

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7) Referencias

1. ↑Juan José Luetich,, – Suplemento 1, 1 (1) 1, Rosario, Academia Luventicus, 2001
2. ↑Edward N. Zalta – Uri Nodelman – Colin Allen (editores), artículo:, Stanford Encyclopedia of Philosophy, Stanford, Metaphysics Research Lab – Center for the Study of Language and Information – Stanford University, 2001–2013
3. ↑Margaret E. Baron,, The Mathematical Gazette, Vol. cincuenta y tres No. trescientos ochenta y cuatro, Leicester, The Mathematical Association, 1969
4. Anónimo, "Obituary Notices of Fellows Deceased: Rudolph Messel, Frederick Thomas Trouton, John Venn, John Young Buchanan, Oliver Heaviside, Andrew Gray", Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, Vol. ciento diez No. 756, Londres, The Royal Society, 1926
5. John Venn, "On the Diagrammatic and Mechanical Representation of Propositions and Reasonings", The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 10 (58) 1–18, Escocia, Taylor & Francis, 1880
6. el 18 de febrero de dos mil catorce en la., Actas – Editoriales, Rosario, Academia Luventicus, 2013
7. John Venn, Symbolic Logic, Londres, Macmillan, 1881
8. Clarence Irving Lewis, A survey of symbolic logic, Berkeley,, 1918
9. John Venn, The Principles Of Empirical Or Inductive Logic, Londres, Macmillan, 1907
10. Juan José Luetich,, Actas – Suplemento 1, 1 (dos) 1, Rosario, Academia Luventicus, 2008
11. Javier R. Movellan,el 5 de agosto de dos mil doce en la., Tutorial on axiomatic ser theory, Kolmogorov Project, 2003
12. A. Calini – Y también. Jurisich – S. Shields,, Set Theory and Logic, College of Charleston, 2008
13. Juan José Luetich,el veintitres de octubre de dos mil trece en la., Luventicus – Universidad, Rosario, Academia Luventicus, 2003
14. Frank Ruskey – Mark Weston,el once de octubre de 2011 en la., "What is a Venn Diagram?", The Electronic Journal of Combinatorics, combinatorics.org, 2005
15. Anthony W. F. Edwards, "Cogwheels of the Mind: The Story of Venn Diagrams", Baltimore (Máriland), The, 2004
16. Branko Grünbaum, "Venn Diagrams I", Geombinatorics, Vol. 1 No. 4, 1992
17. Branko Grünbaum, "Venn Diagrams II", Geombinatorics, Vol. 2 No. 2, 1992
18. Branko Grünbaum, "The search for symmetric Venn diagrams", Geombinatorics, Vol. ocho No. 1, 1999
19. Andreas Otte,, Begriffslogik.de, 1998

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8) Enlaces externos

• : Lecturas sobre exclusión y significación.
• : Conceptos y ejemplos relacionados con el diagrama de Venn.
• : Programa que deja a los alumnos explorar la notación de la teoría de conjuntos sombreando diagramas.
• : Programa de creación de gráficos con licencia GPL que genera varios códigos, incluyendo LaTeX, Poscript Encapsulado y PDF.
• : Programa de empleo en línea para la creación de diagramas de tres conjuntos con áreas proporcionales.

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